点

三维向量 $(x,y,z)$

点积

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$

几何意义：$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$，$\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影。

叉积

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)$$

几何意义：$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$

特别地，$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ 是 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 形成平面的法向量。

数值意义上，在 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 平面上和二维叉积相同。

三重积

即 $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$

在数值上，$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$

几何意义：平行六面体体积

特别地，由 $O,A,B,C$ 四点构成的四面体，体积为 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 形成的平行六面体体积的 $\frac{1}{6}$。

线段

同二维

直线

同二维

平面

三点式

三点 $v_1,v_2,v_3$ 确定一个平面

点法式

平面上一点 $P$ 与垂直于该平面的法向量 $\overrightarrow{n}$。

球

球心 $c(x,y,z)$ 和半径 $r$。

体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

表面积公式：$S=4\pi r^2$

球截面

用一个平面截球面，所得的截面是一个圆：

• 该截面经过球心，称作大圆
• 该截面不经过球心，称作小圆

球面弧

球面上由两个点和连接它们的球面上的最短曲线所组成的部分：

• 该曲线位于大圆上：大圆弧
• 该曲线位于小圆上：小圆弧

大圆弧的优弧是球面上两点的最长弧，大圆弧的劣弧是球面上两点的最短弧。

球冠

球冠可视作在球面上和某一点的球面距离不超过 $d$ 的区域。

• 球冠的高 $h$
• 球冠的底面半径：$a$

球冠表面积：$S=2\pi rh$

球冠体积：$V=\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$

中心角（以球心为顶点，弧对应的角）：$\theta$

$$\theta =\frac{d}{r}$$$$h=R(1-\cos \theta )$$$$a=R\sin \theta$$

球面三角形

将球面上的三个点 $A,B,C$ 分别用三个大圆弧连起来，所围成的图形称为球面三角形。

球面三角形面积：$r^2(A+B+C-\pi )$

球面余弦定理：

• $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$
• $\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B$
• $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$

其中 $a,b,c$ 是球面三角形的弧长，$A,B,C$ 是球面三角形顶角

球面正弦定理：

• ${\displaystyle \frac{\sin a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{\sin b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{\sin c}{\sin C}}$