点

三维向量 $(x,y,z)$

点积

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$

当 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 均非零时，点积满足

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta .$$

点积本身不是投影值。当 $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ 时，$\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 方向上的标量投影与向量投影分别为

$${\mathrm{comp}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}},{\mathrm{proj}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}}\overrightarrow{b}.$$

叉积

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)$$

几何意义：$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$

特别地，当 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 不平行时，$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ 非零，可以作为 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 所在平面的法向量。

在 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 所在平面选定单位法向量 $\hat{n}$ 后，$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \hat{n}$ 对应这两个向量在该有向平面内的二维叉积。

三重积

即 $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$

在数值上，

$$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|.$$

三重积是有符号量，其绝对值才是三个向量张成的平行六面体体积：

$$V=|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}|.$$

特别地，由 $O,A,B,C$ 四点构成的四面体体积为

$$V_{OABC}={\displaystyle \frac{|(\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}|}{6}}.$$

线段

线段 AB 可以写成

$$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+t(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}),0\le t\le 1.$$

点在线段上的判定与二维类似，但两条空间线段即使投影相交也可能异面；判断相交时必须验证它们在三维空间中确实存在同一个交点。

直线

空间直线仍可使用点向式 $\overrightarrow{X}=\overrightarrow{P}+t\overrightarrow{v}$ 表示，其中 $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$。两条空间直线除相交、平行或重合外，还可能异面，因此不能直接套用二维直线的全部结论。

平面

三点式

三点 $P_1,P_2,P_3$ 只有在不共线时才能唯一确定一个平面，即

$$({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1)\times ({\overrightarrow{P}}_3-{\overrightarrow{P}}_1)\ne \overrightarrow{0}.$$

此时可以取法向量 $\overrightarrow{n}=({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1)\times ({\overrightarrow{P}}_3-{\overrightarrow{P}}_1)$，平面方程为

$$(\overrightarrow{X}-{\overrightarrow{P}}_1)\cdot \overrightarrow{n}=0.$$

若三点共线，则有无穷多个平面经过它们，不能得到唯一平面。

点法式

平面上一点 $P$ 与垂直于该平面的非零法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以表示平面：

$$(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{P})\cdot \overrightarrow{n}=0,\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}.$$

球

球心 $O(x,y,z)$ 和半径 $r$。下文涉及球面距离和球面三角形时均假设 $r>0$。

体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

表面积公式：$S=4\pi r^2$

球截面

设平面到球心的距离为 $\delta$：

• $\delta =0$ 时，截面是半径为 $r$ 的大圆；
• $0<\delta <r$ 时，截面是半径为 $\sqrt{r^2-{\delta }^2}$ 的小圆；
• $\delta =r$ 时，平面与球面相切，交集退化为一个点；
• $\delta >r$ 时，平面与球面没有交点。

球面弧

设球面上两点为 $P,Q$，令 $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{O},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{O}$，则它们的中心角可以写成

$$\theta =\mathrm{atan}2(|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|,\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\in [0,\pi ],$$

也可以用 $\arccos ((\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})/r^2)$ 计算；浮点实现应先把余弦值限制在 $[-1,1]$ 内。

球面距离为

$$d=r\theta .$$

当 $P,Q$ 既不重合也不互为对跖点时，连接它们的最短球面曲线唯一，是两点所在大圆的劣弧。当 $P,Q$ 为对跖点时，任意经过它们的大圆半圆都是最短路，长度均为 $\pi r$，因此最短路不唯一。小圆弧一般不是球面的测地线，也不是两点间的最短路。

对于非重合、非对跖的两点，在固定的同一个大圆上有一条劣弧和一条优弧，优弧只是其中较长的一条。若允许任意球面曲线通过绕行增加长度，则不存在“所有曲线中最长”的连接方式。

球冠

球冠可视作球面上到极点的球面距离不超过 $d$ 的区域，其中 $0\le d\le \pi r$。

• 球冠的高 $h$
• 球冠的底面半径：$a$

球冠曲面面积（不含底面圆）：$S=2\pi rh$

对应球缺的体积：$V=\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$

中心角（以球心为顶点，弧对应的角）：$\theta$

$$\theta =\frac{d}{r}$$$$h=r(1-\cos \theta )$$$$a=r\sin \theta$$

球面三角形

球面上三个点 $A,B,C$ 两两不互为对跖点，且不全位于同一个大圆上时，可以用大圆劣弧围成非退化球面三角形。下文取标准的凸球面三角形，设顶点 $A,B,C$ 处的内角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，且角度均使用弧度制；设 $a,b,c\in (0,\pi )$ 为对应边的中心角，即

$$a=\mathrm{\angle }BOC,b=\mathrm{\angle }COA,c=\mathrm{\angle }AOB.$$

三条边的实际弧长分别为 $ra,rb,rc$。

球面三角形面积：$r^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$。

球面余弦定理：

• $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha$
• $\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos \beta$
• $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma$

若使用实际弧长 $s_a,s_b,s_c$，则代入三角函数前必须先换成中心角 $a=s_a/r,b=s_b/r,c=s_c/r$。

球面正弦定理：

• ${\displaystyle \frac{\sin a}{\sin \alpha }}={\displaystyle \frac{\sin b}{\sin \beta }}={\displaystyle \frac{\sin c}{\sin \gamma }}$